domingo, 15 de abril de 2012

PERPENDICULARIDAD

Fundamento de la perpendicularidad- - GeoGebra Hoja Dinámica




Fundamento de la perpendicularidad


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com




Fundamento de la perpendicularidad - GeoGebra Hoja Dinámica




En el centro del dibujo tenemos la proyección central del círculo de distancia CD con su centro o punto principal P coincidente con el punto de vista V, una traza y recta límite de un plano (en color naranja denominado épsilon) y una recta perpendicular a’ en color verde.
A la derecha del dibujo tenemos los mismos elementos representados pero en una proyección en perfil, como si estuviéramos trabajando en el sistema diédrico, de esta forma tenemos las proyecciones ortogonales en una vista en perfil en la que se pueden ver las relaciones angulares de todos los elementos del espacio que aparecen en la proyección central.
En el perfil podemos observar un plano amarillo que tiene cierta pendiente, es el plano que hemos denominado épsilon, como vemos corta al plano del cuadro (línea JC) según  el punto D, que es por donde pasa la traza del plano: traza épsilon, perpendicular al plano del cuadro. Para obtener su recta límite hacemos por el punto de vista en el perfil V’ una recta paralela hasta que corta al plano del cuadro en H, por el que pasamos una línea paralela a la traza del plano que denominamos recta límite del plano: l’épsilon.
En el dibujo podemos comprobar la relación que existe entre la representación del plano y el perfil de la representación del mismo en proyección central, podemos observar también una recta cualquiera a perpendicular al plano (en el dibujo en color azul claro). Como podemos observar en el perfil la recta a es perpendicular al plano y corta al plano del cuadro en un punto denominado traza Ta.
Para obtener el punto de fuga o punto límite de la recta L’a  hacemos una paralela a la recta azul por el punto de vista V’ en el perfil, obteniendo de esta forma el punto límite de la recta L’a.  Si por éste punto hacemos una recta perpendicular al plano del cuadro en el perfil observaremos que el punto límite en la proyección central queda sobre la línea perpendicular a la recta límite del plano (límite de épsilon) que pasa por el punto principal P, denominado en el dibujo L’a. Éste es por tanto el punto de fuga de todas las rectas perpendiculares al plano amarillo, podemos mover la recta azul para comprobar que efectivamente el punto límite de la recta es invariable ya que al hacer por el punto de vista en el perfil  V’ una paralela a todas las rectas paralelas a ella obtenemos siempre el mismo punto de fuga o punto límite de la recta L’a1 en el perfil y L’a en la proyección central.
Podemos observar la condición de perpendicularidad si nos fijamos en el dibujo, al hacer las rectas tangentes al círculo CD de distancia desde el punto límite de la recta L’a obtenemos dos puntos OP de tangencia con la circunferencia, por estos puntos  pasa la recta polar cuya simétrica respecto al punto principal P es la recta límite del plano. De esta forma podemos decir que el punto límite L’a es el polo de la circunferencia respecto a la recta polar (en color negro). Si construimos la recta simétrica de la polar respecto al punto principal, tenemos que el punto límite de la recta pasa a ser el antipolo de esta recta l’ épsilon. En consecuencia la recta límite de un plano es la polar del antipolo de la recta.





Generalidades

Dos elementos son perpendiculares en proyección central si se corresponden en la antipolaridad respecto al círculo de distancia.

Si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano. 


Recta perpendicular al plano: el punto límite de la recta perpendicular a un plano  es el antipolo de la límite del plano. El antipolo es el punto simétrico del polo respecto al punto principal, considerando la recta límite del plano como la polar.


Para obtener un plano perpendicular a otro hacemos una recta perpendicular al plano y pasamos cualquier plano por esta recta. Todos los planos que pasan por esta recta son perpendiculares al anterior.

Dos planos son perpendiculares cuando la recta límite de un plano es la antipolar respecto a la límite de otro plano.



Recta perpendicular a un plano



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Plano perpendicular a un plano - GeoGebra Hoja Dinámica




Para construir una recta perpendicular a un plano dibujamos por el punto principal P una perpendicular a la recta límite del plano (en color azul) y a continuación otra perpendicular a ésta última (en color gris). La intersección de esta última recta con el círculo de distancia define el punto B por el que hacemos una recta perpendicular a la dirección AB. Esta recta perpendicular corta a la línea azul en el punto Fa. Este punto es el antipolo de la recta límite del plano y la recta límite es la antipolar, que no es otra cosa que la simétrica de la polar respecto al punto principal P.
Todas las rectas perpendiculares a este plano tiene su punto límite en Fa, tengan la dirección que tengan, esto quiere decir que cualquier recta que tenga por punto de fuga Fa va a ser siempre perpendicular al plano. Por ejemplo, en el dibujo la recta roja es perpendicular al plano, podemos mover la traza de la recta Ta y ponerla en cualquier posición que siempre será una recta perpendicular a ese plano por tener su punto límite o punto de fuga en Fa.



Plano perpendicular a un plano



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Recta perpendicular a una recta - GeoGebra Hoja Dinámica




En geometría tenemos un teorema que dice que si una recta es perpendicular a un plano, todos los planos que pasan por esa recta son perpendiculares al plano anterior. Basándonos en este detalle y en el ejercicio anterior, podemos pasar cualquier plano por la recta y tenemos que este plano es perpendicular al plano dado.
Por ejemplo en el dibujo tenemos que la recta roja es perpendicular al plano negro, hacemos un plano verde que pasa por la recta roja, esto quiere decir que su recta límite pasa por su punto límite o punto de fuga y que su traza pasa por la traza de la recta. Este plano por contener a la recta perpendicular al plano es también perpendicular al plano. Podemos mover la traza de la recta y vemos que el plano cambia en su posición, pero como sigue conteniendo a la recta siempre será un plano perpendicular al plano dado.



Recta perpendicular a una recta



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En geometría tenemos un teorema general que dice que si una recta es perpendicular a un plano lo es a todas las rectas del plano (la recíproca no es cierta, son necesarias al menos 2 rectas no paralelas en el plano para que el plano sea perpendicular a la recta). En consecuencia basándonos en el primer ejercicio, tenemos una recta roja perpendicular al plano porque el punto límite de la misma se corresponde en la antipolaridad respecto al círculo de distancia. La recta roja por tanto es perpendicular al plano negro y en consecuencias todas las rectas de este plano son perpendiculares a la recta roja, como por ejemplo la recta marrón m.



recta c perpendicular a -a b - GeoGebra Hoja Dinámica






Recta c perpendicular a 2 líneas a b que se cruzan.



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Tenemos dos rectas (en el dibujo en color rosa y el color azul, a, b, respectivamente). Se trata de calcular una recta perpendicular común en el dibujo en color naranja.
Como la recta es perpendicular a ambas, el punto límite de la misma será el antipolo de la recta polar que definen los puntos límites de las otras rectas. En consecuencia unimos los puntos límites L’a L’b con un segmento por el que hacemos una recta perpendicular desde el centro de la circunferencia A. Por este punto principal A hacemos una recta paralela a esta nueva límite obteniendo en la intersección con la circunferencia de distancia el punto C por el que hacemos una recta perpendicular a la recta Cd. Está recta perpendicular corta a la línea verde Ad en el punto L’c. Éste es el antipolo de la recta definida por los puntos límites de las rectas rosa y azul. Para obtener la traza de la recta haremos líneas paralelas a las dos direcciones de las nuevas rectas límites L’a L’b, obteniendo en la intersección de estas dos direcciones paralelas por Ta Tb el punto Tc. La recta Tc-L’c es la perpendicular común a ambas rectas.


Teoremas básicos de perpendicularidad en el espacio:
http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/perpendicularidad.html
http://la-perspectiva-conica.blogspot.com.es/2010/11/perpendicularidad.html

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