ÁNGULOS

Ángulo entre dos rectas a b que se cruzan Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Para calcular el ángulo entre dos rectas a b que se cruzan, se toma un punto C de una de ellas, por ejemplo de la recta a y se traza por C una recta c paralela a la otra b. El ángulo que forman estas dos rectas ca es el ángulo que forman las rectas a b. Como la recta c es paralela a la recta b tendrán el mismo punto límite L’b, y como la recta c corta a la recta a, determinan un plano que denominamos épsilon. El plano que contiene a ambas rectas pasa por los puntos límites de ambas L’a y L’b, esta recta límite del plano la denominamos límite épsilon. Para obtener la traza Tc de la recta c hacemos por la traza Ta de la recta a una recta paralela a la recta límite del plano épsilon obteniendo en la intersección de esta recta con la recta c la traza Tc de la misma. Para calcular el ángulo que forman las rectas c a, (que es el mismo que forman las rectas b y a), unimos el punto de vista abatido con los puntos límites de las rectas, el ángulo de estos dos segmentos es el ángulo que forman las rectas. Ángulo entre 2 planos Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Para calcular el ángulo entre dos planos hacemos la intersección de ambos y construimos un plano perpendicular a esta recta de intersección. Este plano perpendicular a los dos planos los corta según dos rectas que definen el ángulo entre los dos planos. Si abatimos ambas rectas tenemos el ángulo que forman las 2 rectas y por tanto el ángulo de los planos; por proyección gnomónica sabemos que es suficiente con unir el punto de vista abatido N con los dos puntos límites Fk Fg de las rectas, obteniendo de esta manera el ángulo real, en el dibujo de 27, 64°. Tenemos los dos planos, uno de color rosa y el otro de color verde, la intersección es una recta violeta Ta Fa cuyo punto de fuga es el antipolo  de la nueva recta límite del plano perpendicular a ella, en color marrón. Calculamos la intersección del plano marrón con los dos planos dados verde y rosa y obtenemos las dos rectas de intersección azul y naranja. Los puntos límites de estas dos rectas unidos al punto de vista definen las dos líneas que determinan el ángulo entre ambas rectas que es por tanto el ángulo entre los dos planos. Ángulo entre dos rectas que se cortan Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com Para calcular el ángulo entre dos rectas en verde y rosa, pasamos un plano marrón por ellas. El plano marrón contiene a las dos rectas en verde y rosa ya que las dos trazas  Td Tc de las rectas están sobre la traza del plano y los puntos de fuga Fc Fd de la rectas están sobre la recta límite del plano. Tenemos el círculo de distancia definido por el radio AB, desde el punto principal A  hacemos una recta perpendicular AC a la recta límite del plano y por A hacemos otra recta perpendicular a la anterior, en el dibujo en color gris. Esta nueva recta corta al círculo de distancia en el punto D de la circunferencia. Unimos este punto con C  y tenemos que el radio CD del nuevo arco DF cuyo centro es C y que corta a la perpendicular a la recta límite en el punto F, es el punto de vista abatido. Unimos este punto de vista abatido F con los dos puntos límites o de fuga de las 2 rectas y tenemos directamente el ángulo que forman entre ellas, que en este caso es 93, 93. http://los-angulos-en-la-circunferencia.blogspot.com.es/ http://sistema-diedrico.blogspot.com.es/2010/11/angulos.html http://la-perspectiva-conica.blogspot.com.es/2010/11/angulos.html Ángulo entre recta a y plano beta Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com De forma genérica para calcular el ángulo que forma una recta y un plano se hace una recta perpendicular al plano desde un punto de la recta dada y en el punto de intersección con el plano se une con la intersección de la recta y el plano dados. La recta dada y esta última recta calculada, define el ángulo que forman la recta y el plano dados. Para calcular el ángulo que forma una recta a y un plano  beta (en color azul la recta y verde el plano), se calcula primero la intersección de la recta con el plano, para ello pasamos un plano cualquiera alfa por la recta y este corta al plano según la recta AF. Está recta corta a la recta dada a en el punto G. Por un punto cualquiera H de la recta dada a  hacemos una recta perpendicular al plano dado beta. Esta recta por ser perpendicular tendrá su punto límite en el antipolo L’i del plano. Calculamos la intersección de esta recta i con el plano beta, como esta recta corta a la dada a tenemos que ambas forman un plano definido por el punto límite de ambas L’i L’a por donde pasa la recta límite del plano y la traza que es paralela a esta recta y pasa por la traza Ta de la recta a, a este plano le llamamos épsilon. El plano épsilon corta al plano beta según la recta j y cómo contiene a la recta i tenemos que ésta recta corta al plano beta según el punto M. El ángulo que forman las rectas MG y HG es el ángulo que forman la recta y el plano dados. Como estas dos rectas a j pertenecen al plano épsilon, abatimos el punto de vista respecto a la recta límite de este plano haciendo centro en el punto K y tomando como radio la distancia KL obteniéndolo en la intersección de este arco con la recta PK. El punto de vista abatido V (en color rojo) lo unimos con los puntos límites de las rectas azul y amarilla (a y j, respectivamente). El ángulo que forman estas dos líneas es el ángulo que forman la recta y el plano en el espacio.